Question

18．已知函數f（x）=$\frac{1}{x+1}$，x∈[1，2]．
（1）判斷并證明函數f（x）的單調性；
（2）求函數f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）=$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上遞減．運用單調性的定義，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟；
（2）運用函數的單調性，即可得到最值．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上遞減．
理由如下：設1≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1+{x}_{1}}$-$\frac{1}{1+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$，
由1≤x₁＜x₂≤2，可得x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即為f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）在[1，2]遞減．
（2）由（1）可得，f（x）在[1，2]遞減，
即有f（1）取得最大值$\frac{1}{2}$，f（2）取得最小值$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明及運用，考查函數的最值的求法，考查運算能力，屬于基礎題．