Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在$[{-\frac{3}{2}，3}]$上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，求出f′（x），利用極值點(diǎn)，推出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）要使函數(shù)g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=m的圖象在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)．通過(guò)函數(shù)的極值，求解即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
因?yàn)楫?dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（2）要使函數(shù)g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，就是要方程f（x）-m=0在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)實(shí)根，也就是只要函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=m的圖象在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
由（1）知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2．
又f（$-\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{8}$，f（3）=18．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：$[\frac{9}{8}，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)零點(diǎn)的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．