Question

8．直線l過點(diǎn)M（2，1），且與橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的左焦點(diǎn)，求數(shù)量積$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式作差，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，計(jì)算可得斜率，再由點(diǎn)斜式方程，可得所求直線方程；
（Ⅱ）求得直線FM的斜率，可得直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程得${x_1}^2+2{y_1}^2=8$，${x_2}^2+2{y_2}^2=8$，
兩式作差得$（{x_1}^2-{x_2}^2）+2（{y_1}^2-{y_2}^2）=0$，
因式分解得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{y_1}+{y_2}）}}$，
即$k=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
所以l方程為：x+y-3=0．
（Ⅱ）因?yàn)镕（-2，0），M（2，1），
所以l斜率$k=\frac{1}{4}$，所以l方程為：x-4y+2=0，
聯(lián)立解方程組$\left\{\begin{array}{l}x-4y+2=0\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，得9y²-8y-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${y_1}+{y_2}=\frac{8}{9}$，${y_1}{y_2}=-\frac{2}{9}$，
x₁x₂=（4y₁-2）（4y₂-2）=16y₁y₂-8（y₁+y₂）+4，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=17y₁y₂-8（y₁+y₂）+4
=$17×（-\frac{2}{9}）-8×\frac{8}{9}+4=-\frac{62}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求直線方程的運(yùn)用，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．