Question

13．已知數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=n²，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$}的前n項和T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$．

Answer 1

分析 分類討論求得$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1，再求得a_n=（2n-1）²，從而化簡得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而求前n項和即可．

解答 解：①當n=1時，$\sqrt{{a}_{1}}$=S₁=1，
②當n≥2時，$\sqrt{{a}_{n}}$=S_n-S_n-1
=n²-（n-1）²=2n-1；
綜上所述，$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1，
故a_n=（2n-1）²，
故$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故答案為：$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及裂項求和法的應用，同時考查了學生的化簡運算能力．