Question

15．已知函數f（x）=e^x（x-ae^x）恰有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據題意，對函數f（x）求導數，得出導數f′（x）=0由兩不等實根，轉化為兩函數有兩個交點的問題，結合圖象即可得出a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=e^x（x-ae^x），
∴f′（x）=（x+1-2a•e^x）e^x，
由于函數f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩不等實根，
即方程x+1-2ae^x=0，且a≠0，
∴$\frac{x+1}{2a}$=e^x；
設y₁=$\frac{x+1}{2a}$（a≠0），y₂=e^x，
在同一坐標系內畫出這兩個函數的圖象，
如圖所示：

要使這兩個函數有2個不同的交點，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＞0}\\{\frac{1}{2a}＞1}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性與極值的應用，也考查了轉化思想與數形結合的應用問題，是綜合性題目，屬于中檔題．