Question

4．已知命題p：對于任意非零實數x，不等式m＜$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$恒成立；命題q：函數f（x）=x²-2mx在區(qū)間（2，+∞）上是增函數，若命題p和命題q有且只有一個真命題，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． [1，2]
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 根據基本不等式的性質，結合不等式恒成立求出命題q成立的等價條件，以及命題q成立的等價條件，結合復合命題真假關系進行討論即可．

解答 解：$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$-1=2-1=1，
若不等式m＜$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$恒成立，則m＜1，
即p：m＜1，￢p：m≥1，
函數f（x）=x²-2mx在區(qū)間（2，+∞）上是增函數，則對稱軸x=$-\frac{-2m}{2}$=m≤2，
即q：m≤2，￢p：m＞2，
若命題p和命題q有且只有一個真命題，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞2}\end{array}\right.$，此時無解，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}\right.$，此時1≤m≤2，
即實數m的取值范圍是[1，2]，
故選：B

點評 本題主要考查命題的真假判斷以及復合命題真假關系的應用，求出命題的等價的條件是解決本題的關鍵．