Question

7．設(shè)二階矩陣M是把坐標(biāo)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)沿y方向伸長(zhǎng)為原來(lái)5倍的伸壓變換．
（1）求直線4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值與特征向量．
（3）求M⁵$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得轉(zhuǎn)換矩陣M，由，則$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，求得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=5y}\end{array}}\right.$，代入直線4x-10y=1方程，即可求得方程M作用下的方程；
（2）令特征多項(xiàng)式f（λ）=0，求得特征值，將特征值代入即可求得特征向量；
（3）由$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2{α_1}+3{α_2}$，則${M^5}[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2×{1^5}[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]+3×{5^5}[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]=[\begin{array}{l}2\\ 3•{5^5}\end{array}]$．

解答 解：（1）由題意可知：變換矩陣M，$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}]$，
設(shè)（x'，y'）是所求曲線上的任一點(diǎn)，則$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=5y}\end{array}}\right.$
從而$\left\{{\begin{array}{l}{x=x'}\\{y=\frac{1}{5}y'}\end{array}}\right.$代入4x-10y=1得，4x'-2y'-1=0，
∴曲線的方程為4x-2y-1=0．--------------------（4分）
（2）矩陣M的特征多項(xiàng)式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&0\\ 0&{λ-5}\end{array}}|=（λ-1）（λ-5）$，
由f（λ）=0得，矩陣M的特征值為λ₁=1，λ₂=5．（6分）
當(dāng)λ₁=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量${α_1}=[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]$；
當(dāng)λ₂=5時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量${α_2}=[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]$．------------------------（8分）
（3）∵$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2{α_1}+3{α_2}$，
∴${M^5}[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2×{1^5}[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]+3×{5^5}[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]=[\begin{array}{l}2\\ 3•{5^5}\end{array}]$．-----------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的變換，考查矩陣的特征向量及特征向量，矩陣的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．