Question

（2013•哈爾濱一模）已知函數(shù)f（x）=e^x+x，g（x）=ax+b（a＞0），若對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a，b的取值范圍是（　�。�

• A．0＜a≤

  e2+1

  2

  ，b≥1
• B．0＜a≤

  e2+1

  2

  ，b≤1
• C．a≥

  e2+1

  2

  ，b≥1
• D．a≥

  e2+1

  2

  ，b≤1

Answer 1

分析：對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），等價(jià)于x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集，利用單調(diào)性求得兩函數(shù)的值域，由集合的包含關(guān)系可得不等式，解出即可．

解答：解：因?yàn)閒′（x）=e^x+1＞0，所以f（x）在[0，2]上遞增，
所以x∈[0，2]時(shí)，f（0）≤f（x）≤f（2），即1≤f（x）≤e²+2，
由a＞0得g（x）=ax+b在[0，2]上遞增，
所以x∈[0，2]時(shí)，g（0）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤2a+b，
又對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
所以有[1，e²+2]⊆[b，2a+b]，則

b≤1 2a+b≥e2+2

，
由e²+2-2a≤b≤1得，a≥

e2+1

2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，本題中對(duì)恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．