Question

17．函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）對x∈（0，+∞）恒成立，若0＜a＜b，則（　�。�

• A． b²f（a）＜a²f（b），b³f（a）＞a³f（b）
• B． b²f（a）＞a²f（b），b³f（a）＜a³f（b）
• C． b²f（a）＞a²f（b），b³f（a）＞a³f（b）
• D． b²f（a）＜a²f（b），b³f（a）＜a³f（b）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，通過求導(dǎo)得函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求出g（a）＜g（b），令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，通過求導(dǎo)得函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，求出h（a）＞h（b），從而得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵2f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（a）＜g（b），即$\frac{f（a）}{{a}^{2}}＜\frac{f（b）}{^{2}}$，
∴b²f（a）＜a²f（b）；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，則h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f′（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＜3f（x），∴h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（a）＞h（b），即：$\frac{f（a）}{{a}^{3}}＞\frac{f（b）}{^{3}}$，
∴b³f（a）＞a³f（b），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．解答的關(guān)鍵是先得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)性．本題的難點在于構(gòu)造出合適的函數(shù)，題后應(yīng)總結(jié)一下，為什么這樣構(gòu)造合理．