Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b滿足f（1）=0，且在x=2時函數(shù)取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）通過f′（2）=0及f（1）=0，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過對函數(shù)f（x）=x³-3x²+2求導(dǎo)，進(jìn)而可判斷單調(diào)區(qū)間；
（3）通過函數(shù)在[0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合最值的概念，畫出草圖，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+b，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函數(shù)f（x）在x=2時函數(shù)取得極值，
∴f′（2）=0，即12+4a=0，
∴a=-3，
又∵f（1）=1-3+b=0，
∴b=2，
綜上a=-3、b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+2，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∵x＜0時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
∵0＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
∵x＞2時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，2），
單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0）∪（2，+∞）；
（3）令f（x）=f（0），即x³-3x²+2=2，
解得：x=0或x=3，
∵函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t∈（0，2]時，g（t）=f（0）=2；
∵函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，且f（3）=f（0）=2，
∴當(dāng)t∈（2，3]時，g（t）=f（3）=2；
當(dāng)t∈（3，+∞）時，g（t）=f（t）=t³-3t²+2；
綜上所述，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{0＜t≤3}\\{{t}^{3}-3{t}^{2}+2，}&{t＞3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用、分段函數(shù)，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．