Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n，a_n，

1

2

成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得2a_n=S_n+

1

2

，易求a1=

1

2

，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），由遞推式可得結(jié)論；
（2）由（1）可求an=a1•2n-1=2^n-2，從而可得b_n，進(jìn)而有

1

bnbn+1

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項(xiàng)相消法可得T_n；

解答： 解：（1）證明：由S_n，a_n，

1

2

成等差數(shù)列，知2a_n=S_n+

1

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，有2a1=a1+

1

2

，∴a1=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），即a_n=2a_n-1，
由于{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n-1≠0，于是有

an

an-1

=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)常數(shù)2，
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2^n-2，
∴b_n=log₂a_n+3=log22n-2+3=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)熟練掌握．