Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，點D是BC的中點，BC=BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）M為棱CC₁的中點，試證明：MB⊥AB₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接A₁B交AB₁于E，從而得到ED是三角形的中位線，由此能證明A₁C∥平面AB₁D．
（2）由BC=BB₁，得AB₁⊥A₁B，連結EM，得EM⊥平面A₁B₁BA，從而得到A₁C⊥EM，進而得到A₁C⊥平面A₁BM，由此能證明MB⊥AB₁．

解答： 證明：（1）連接A₁B交AB₁于E，
由題意知E是A₁B中點，
∵點D是BC的中點，∴在△A₁CB中ED是三角形的中位線，
∴ED∥A₁C，
∵ED?平面AB₁D，A₁C不包含于平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）∵BC=BB₁，∴A₁B₁BA是菱形，∴AB₁⊥A₁B，
連結EM，AM，B₁M，BM，A₁M，
∵E是AB₁中點，M是CC₁中點，
∴EM⊥平面A₁B₁BA，∴A₁C⊥EM，
∴A₁C⊥平面A₁BM，
∵MB?平面A₁BM，∴MB⊥AB₁．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．