Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率為，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若為軸上的兩個動點(diǎn)，且，直線和分別與橢圓交于兩點(diǎn)．

（�。┣�的面積最小值；

（ⅱ）證明：三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（ⅰ）2；

（ⅱ）證明過程見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率可以得到等式，由的面積為，又得到一個等式，結(jié)合，可以求出的值，這樣就求出橢圓方程；

（Ⅱ）（�。┰O(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，可以得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出的面積最小值；

（ⅱ）直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以證明出直線的斜率相等，又過同一點(diǎn)，這樣就可以證明三點(diǎn)共線．

（Ⅰ）由題意可知：，離心率為 ，

因?yàn)?/span>的面積為，所以而，

所以，因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）設(shè)，

,所以.

（ⅰ）設(shè)的面積為，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的面積最小值為2；

（ⅱ）,直線的方程為：與橢圓的方程聯(lián)立得

，

設(shè)所以有，，

設(shè),同理求出，所以，

，所以，直線過同一點(diǎn)，斜率相等，所以三點(diǎn)共線．