Question

20．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），且mn=$\frac{2}{9}$，則該雙曲線的漸近線為（　�。�

• A． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{4}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}x$
• C． $y=±\frac{1}{2}x$
• D． $y=±\frac{1}{3}x$

Answer 1

分析 求出A、C坐標(biāo)，然后求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用mn=$\frac{2}{9}$，即可求出雙曲線的離心率，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由題意可知A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
代入$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
整理可得4e²mn=1，
因?yàn)閙n=$\frac{2}{9}$，
所以可得e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
所以$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
所以1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，
所以$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查雙曲線離心率、漸近線的求法，考查計(jì)算能力．