Question

13．如圖，AF是圓E切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，割線ABC，BM是圓E的直徑，EF交AC于D，$AB=\frac{1}{3}AC$，∠EBC=30°，MC=2．
（Ⅰ）求線段AF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求證：AD=3ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠BCM=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AC=3$\sqrt{3}$，由切割線定理能求出AF．
（Ⅱ）過(guò)E作EH⊥BC于H，則△EDH∽△ADF，由此能證明AD=3ED．

解答 （本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
解：（Ⅰ）∵BM是圓E直徑，∴∠BCM=90°，…（1分）
又MC=2，∠EBC=30°，∴BC=2$\sqrt{3}$，…（2分）
又AB=$\frac{1}{3}$AC，∴AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，∴AC=3$\sqrt{3}$，…（3分）
根據(jù)切割線定理得：$A{F}^{2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}$=9，…（4分）
解得AF=3．…（5分）
證明：（Ⅱ）過(guò)E作EH⊥BC于H，…（6分）
則△EDH∽△ADF，…（7分）
從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，…（8分）
又由題意知CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，EB=2，
∴EH=1，…（9分）
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$，即AD=3ED．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查兩線段等量關(guān)系的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．