分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出∠BCM=90°,BC=2$\sqrt{3}$,AC=3$\sqrt{3}$,由切割線定理能求出AF.
(Ⅱ)過(guò)E作EH⊥BC于H,則△EDH∽△ADF,由此能證明AD=3ED.
解答 (本題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講
解:(Ⅰ)∵BM是圓E直徑,∴∠BCM=90°,…(1分)
又MC=2,∠EBC=30°,∴BC=2$\sqrt{3}$,…(2分)
又AB=$\frac{1}{3}$AC,∴AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$,∴AC=3$\sqrt{3}$,…(3分)
根據(jù)切割線定理得:$A{F}^{2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}$=9,…(4分)
解得AF=3.…(5分)
證明:(Ⅱ)過(guò)E作EH⊥BC于H,…(6分)
則△EDH∽△ADF,…(7分)
從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$,…(8分)
又由題意知CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$,EB=2,
∴EH=1,…(9分)
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$,即AD=3ED.…(10分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法,考查兩線段等量關(guān)系的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意切割線定理的合理運(yùn)用.
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