Question

14．在Rt△ABC中，|AB|=1，∠BAC=60°，∠B=90°．
（1）若G是△ABC的重心，求$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$的值；
（2）若G是△ABC的內(nèi)心，求$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的運算法則和重心定理及數(shù)量積運算即可得出；
（2）利用向量的運算法則和內(nèi)心性質(zhì)及數(shù)量積運算即可得出．

解答 解：（1）以B為圓心，以BC所在直線為x軸，以BA所在的直線為y軸，建立如圖所示的坐標系，
∵Rt△ABC中，|AB|=1，∠BAC=60°，∠B=90°，
∴|BC|=$\sqrt{3}$，|AC|=2
∴A（0，1），C（$\sqrt{3}$，0），
設E、F分別為AC、AB的中點，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{BG}$•$\overrightarrow{CG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=-$\frac{5}{9}$，
（2）∵G是△ABC的內(nèi)心，
∴BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠GBC=45°，∠GCB=15°，
∴∠BGC=120°，
由正弦定理可得$\frac{BG}{sin15°}$=$\frac{CG}{sin45°}$=$\frac{BC}{sin120°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴BG=2sin15°=2sin（45°-30°）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，CG=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{GB}$•$\overrightarrow{GC}$=|$\overrightarrow{GB}$|•|$\overrightarrow{GC}$|cos120°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，熟練掌握向量的運算法則和重心內(nèi)心以及數(shù)量積運算、模的計算公式和及其兩角和差的正弦弦公式是解題的關鍵．