如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，∠BCC′=60°，△ABC為等邊三角形，
面ABC⊥面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn)；
（Ⅰ）求證：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。
（Ⅰ）證明：（方法一）取A′B中點(diǎn)D，連接ED，DC，
因?yàn)镋，D分別為AB，A′B中點(diǎn)，
所以ED=AA′，ED∥AA′，
所以ED=CF，ED∥CF，所以四邊形EFCD為平行四邊形，
所以EF∥CD，
又因?yàn)镋F平面A′BC，CD平面A′BC′，
所以EF∥平面A′BC′。
證明：（方法二）取BC中點(diǎn)O，連接AO，OC′，
由題可得AO⊥BC，
又因?yàn)槊鍭BC⊥面，
所以AO⊥面，
 ，
，所以，
可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)BC=2，可得，，，
，，，
所以，
所以
，

則，
不妨取，則，
所以，
（Ⅱ）（方法一）解：過F點(diǎn)作AA′的垂線FM交AA′于M，
連接BM，BF，
因?yàn)锽F⊥CC′，CC′∥AA′，
所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，

因?yàn)槊鍭BC⊥面BCC′B′，所以A點(diǎn)在面BCC′B′上的射影落在BC上，
所以，
所以，
不妨設(shè)BC=2，則，
同理可得，
所以，
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得
，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
則，
不妨取，
則；
又，

則，
不妨取，
則，
所以，

。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

如圖所示，三棱柱中，截面BCFE將三棱柱分成兩部分，

你能說出是什么樣的幾何體嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

(2) 請根據(jù)下列要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，并寫出拼接后的長方體的表面積（不必寫出計(jì)算過程）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

(2) 請根據(jù)下列要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，

 

并寫出拼接后的長方體的表面積（不必計(jì)算過程）.


 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省唐山一中2010高考模擬試卷（一）理 題型：解答題

 

如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點(diǎn)；

（Ⅰ）求證：面＇；

（Ⅱ）求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

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