如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點；

（Ⅰ）求證：面＇；

（Ⅱ）求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （Ⅰ）證明（方法一）取中點，連接，因為分別為中點，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為＇，所以面＇；┅┅┅┅┅┅…………………………………┅６分

（方法二）取中點，連接，

由題可得，又因為面面，

所以面，又因為菱形中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標系┅┅┅┅2分

不妨設(shè)，可得，，，

所以所以，┅┅┅┅┅┅┅4分

設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因為面＇，所以面＇.

┅┅┅┅┅┅┅7分

(Ⅱ）（方法一）

過點作的垂線交于，連接.因為，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角.------------------------------８分

 

因為面面，所以點在面上的射影落在上，所以，所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法二可得，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設(shè)面的一個法向量為，則

，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

 

所以，因為二面角為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

 

練習(xí)冊系列答案
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(2) 請根據(jù)下列要求設(shè)計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，并寫出拼接后的長方體的表面積（不必寫出計算過程）.

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面ABC⊥面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點；
（Ⅰ）求證：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點分別為棱的中點，求證：平面；

(2) 請根據(jù)下列要求設(shè)計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體. 簡單地寫出一種切割和拼接方法，

 

并寫出拼接后的長方體的表面積（不必計算過程）.


 

 

 

 

 

 

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