Question

19．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=a，AB=2a．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）PC與平面ABCD所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、EN，證明四邊形AMNE是平行四邊形，可得MN∥AE，利用線面平行的判定，即可得出結(jié)論．
（2）由線面垂直得PA⊥CD，由矩形性質(zhì)得AD⊥CD，由此能證明CD⊥MN．
（3）連接AC，PA⊥矩形ABCD所在的平面，所以∠PCA為PC與平面ABCD所成角．

解答 （1）證明：取PD 的中點(diǎn)E，連接AE、EN，
則有EN=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}AB$=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）解：連接AC，PA⊥矩形ABCD所在的平面，
所以∠PCA為PC與平面ABCD所成角，
AB=2a，BC=a，∴AC=$\sqrt{5}$a，PA=a，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查線面角，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．