Question

14．函數(shù)y=$\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞），若x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），其值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 把已知等式變形，求出sinx，利用三角函數(shù)的有界性求得答案．

解答 解：由$y=\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$，得3ysinx+2y=2sinx-1，
即sinx=$\frac{2y+1}{2-3y}$，
∵|sinx|≤1，∴|$\frac{2y+1}{2-3y}$|≤1，即|2y+1|≤|2-3y|，解得：$y≤\frac{1}{5}$或y≥3，
∴$y=\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$的值域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞）；
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$）時(shí)，滿足-1＜sinx|≤1，
∴$-1＜\frac{2y+1}{2-3y}≤1$，
解得：$y≤\frac{1}{5}$或y＞3．
此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞）；（-∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)的有界性，是中檔題．