Question

16．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）對(duì)價(jià)格y（單位：千元/噸）和利潤z的影響，對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如表：

x	1	2	3	4	5
y	7	6	5	4	2

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤z取到最大值？（保留兩位小數(shù)）
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）利用回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）求出z關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)z最大時(shí)x的值．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（7+6+5+4+2）=4.8．
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=60，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=55，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{60-5×3×4.8}{55-5×9}$=-1.2，$\stackrel{∧}{a}$=4.8+1.2×3=8.4．
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-1.2x+8.4．
（2）z=x（-1.2x+8.4）-2x=-1.2x²+6.4x=-1.2（x-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{128}{15}$，
∴當(dāng)x=$\frac{8}{3}$≈2.67時(shí)，利潤z取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解及數(shù)值估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．