Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+a-1），（x＞1）}\\{（2a-1）x-a，（x≤1）}\end{array}\right.$滿足對于任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （1，2）
• C． （1，2]
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，得函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：∵f（x）滿足對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}＞0$成立，
∴函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{2a-1＞0}\\{2a-1-a≤lo{g}_{a}（1+a-1）}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．