Question

14．如圖，在幾何體ABCD-EFG中，下地面ABCD為正方形，上底面EFG為等腰直角三角形，其中EF⊥FG，且EF∥AD，F(xiàn)G∥AB，AF⊥面ABCD，AB=2FG=2，BE=BD，M是DE的中點(diǎn)．
（1）求證：FM∥平面CEG；
（2）求幾何體G-EFC的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取EC的中點(diǎn)N，連接GN，MN．利用三角形的中位線定理可得：MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，又DC$\underset{∥}{=}$AB，F(xiàn)G$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，即可證明四邊形MNGF是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．
（2）利用正方形的性質(zhì)可得對(duì)角線BD，可得BE．利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得AF⊥底面EFG．利用勾股定理可得BF²=BE²-EF²=AB²+AF²，解得AF．利用幾何體G-EFC的體積V=$\frac{1}{3}•{S}_{△EFG}•AF$即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，
取EC的中點(diǎn)N，連接GN，MN．又M是DE的中點(diǎn)．
∴MN是△CDE的中位線，
∴MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，又DC$\underset{∥}{=}$AB，F(xiàn)G$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴$MN\underset{∥}{=}FG$，
∴四邊形MNGF是平行四邊形，
∴FM∥GN．
又MF?平面CEG，NG?平面CEG；
∴FM∥平面CEG．
（2）解：正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，
∴對(duì)角線BD=2$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$．
∵AF⊥面ABCD，
∴AF⊥AD，AF⊥AB，又EF∥AD，F(xiàn)G∥AB，
∴AF⊥EF，AF⊥FG，
∴AF⊥底面EFG．又EF⊥FG，F(xiàn)G∩AF=F．
∴EF⊥平面ABGF．
∴EF⊥BF．
∴BF²=BE²-EF²=AB²+AF²，
∴$（2\sqrt{2}）^{2}$-1²=2²+AF²，解得AF=$\sqrt{3}$．
∴幾何體G-EFC的體積V=$\frac{1}{3}•{S}_{△EFG}•AF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、體積計(jì)算，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．