Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面PAC；
（2）求證：AB⊥PB；
（3）若PC=BC=2，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）證明DE∥PA，利用線面平行的判定定理，證明DE∥平面PAC；
（2）證明AB⊥平面PBC，即可證明：AB⊥PB；
（3）若PC=BC=2，利用三棱錐的體積公式求三棱錐P-ABC的體積．

解答 （1）證明：因?yàn)镈，E分別是AB，PB的中點(diǎn)，
所以DE∥PA．
因?yàn)镻A⊆平面PAC，且DE?平面PAC，
所以DE∥平面PAC．           …（4分）
（2）證明：因?yàn)镻C⊥平面ABC，且AB⊆平面ABC，
所以AB⊥PC．又因?yàn)锳B⊥BC，且PC∩BC=C．
所以AB⊥平面PBC．又因?yàn)镻B⊆平面PBC，
所以AB⊥PB．                                          …（8分）
$\begin{array}{l}（3）∵PC⊥ABC，△ABC∠ABC={90°}，AB=BC=2\\∴{V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2=\frac{4}{3}\end{array}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．