Question

17．已知函數f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）．
（I）當a＞0時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據基本不等式的性質求出函數的最小值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，得到函數的最小值，解關于a的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$=x+$\frac{a}{x}$+2，（x＞0），
∵a＞0，x＞0，∴f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$+2=2$\sqrt{a}$+2，
當且僅當x=$\sqrt{a}$時“=”成立，
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2，（x≥1），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
a≤1時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（1）=a+3＞0，解得：-3＜a≤1，
a＞1時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：1≤x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$+2＞0成立，
綜上a＞-3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．