Question

8．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|≤12，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值是-6．

Answer 1

分析 利用向量的運算得出∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|²≤12²，即4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow$²≤144+12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，結(jié)合基本不等式得出4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow$²≥12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|≥-12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，放縮即可得出144$+24\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$≥0，求解即可得出答案．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|≤12，
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|²≤12²，
即4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow$²≤144+12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，
∵4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow$²≥12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|≥-12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，
∴144$+24\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$≥0，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥-$\frac{144}{24}$=-6，
故答案為：-6．

點評 本題考察了平面向量的數(shù)量積的運用，基本不等式在求解最值中的運用，屬于綜合題．