Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：
①f（1）=2； ②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1； ③對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求證：f（0）=1，且對(duì)任意x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1；
（2）求證：f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）求滿(mǎn)足f（3x-x²）＞4的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=1，及f（x）•f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1，可得對(duì)任意x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1；
（2）由（1）得f（x）＞0，令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=[f（x₂-x₁）-1]•f（x₁）＞0．，可得單調(diào)性；
（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和f（2）=4，f（3x-x²）＞4=f（2）．3x-x²＞2，解得x的范圍．

解答 解：（1）證明：∵f（1）=2，且對(duì)任意的x、y∈R，都有
∴f（1+0）=f（1）•f（0），即2f（0）=2，∴f（0）=1
又當(dāng)x＜0時(shí)，有-x＞0，且x+（-x）=0，f（-x）＞1
∴f（x）•f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1，即$f（x）=\frac{1}{f（-x）}$
∴0＜f（x）＜1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=[f（x₂-x₁）-1]•f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
所以，f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4
∴f（3x-x²）＞4=f（2）
由（2）知，f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)
∴3x-x²＞2，解得，1＜x＜2
∴滿(mǎn)足f（3x-x²）＞4的所有x的取值為（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查賦值法的運(yùn)用和函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及恒成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題．