Question

2．已知圓C：（x+4）²+y²=16和點(diǎn)F（-6，0），G是圓C上任意一點(diǎn)．
（1）若直線FG與直線l：x=-4交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（2）在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出G的坐標(biāo)，和直線FG的方程，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，利用條件$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，設(shè)G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y_G=±$\sqrt{15}$，
所以FG的斜率為k=±$\sqrt{15}$，F(xiàn)G的方程為y=±$\sqrt{15}$（x+6）．
所以C（-4，0）到FG的距離為d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
直線FG被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{16-（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}}$=7．…5分
（2）設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$得$\frac{\sqrt{（{x}_{0}+6）^{2}+{y}_{0}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{0}-s）^{2}+（{y}_{0}-t）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
整理得3（${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$+8x₀=0，②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點(diǎn)可知$\left\{\begin{array}{l}2s+24=0\\ 2t=0\\ 144-{s}^{2}-{t}^{2}=0\end{array}\right.$解得s=-12，t=0，
所以在平面上存在一定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-12，0）.12分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的應(yīng)用，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式以及兩點(diǎn)間的距離公式解決本題的關(guān)鍵．