Question

7．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別AB、C₁D₁的中點(diǎn)，則A₁B₁與平面A₁EF所成角的正切值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先明確∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值

解答 解：連接C₁B，∵E、F分別為AB與C₁D₁的中點(diǎn)，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB為平行四邊形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四邊形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在線段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=$\frac{{B}_{1}C}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\sqrt{2}$．
∴A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值為$\sqrt{2}$；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，關(guān)鍵是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角解答；考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題