Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點(diǎn)（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），點(diǎn)A（x₀，y₀）為橢圓C上的點(diǎn)，且以A為圓心的圓過橢圓C的右焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）記M（0，y₁）、N（0，y₂）是圓A上的兩點(diǎn)，若|FM|•|FN|＞p恒成立，求實(shí)數(shù)p的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率，以及橢圓過點(diǎn)（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），
列方程組求出a²、b²，寫出橢圓方程；
（Ⅱ）由橢圓C的方程和圓A的方程，求出y₀、x₀的關(guān)系以及x₀的取值范圍，
代入并計(jì)算|FM|•|FN|的取值范圍，根據(jù)|FM|•|FN|＞p恒成立求出實(shí)數(shù)p的最大值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，
且橢圓過點(diǎn)（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），
∴$\frac{1}{{4a}^{2}}$+$\frac{7}{{8b}^{2}}$=1②；
又a²=b²+c²③，
由①②③組成方程組，解得a²=2，b²=1；
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）由橢圓的方程知，焦點(diǎn)F（1，0），
又圓A的方程為${（x{-x}_{0}）}^{2}$+${（y{-y}_{0}）}^{2}$=${{（x}_{0}-1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$；
令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，
∴y₁+y₂=2y₀，y₁•y₂=2x₀-1，
且△=4${{y}_{0}}^{2}$-4（2x₀-1）＞0，
${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$，
解得-2-2$\sqrt{2}$＜x₀＜-2+2$\sqrt{2}$；
又點(diǎn)A在橢圓C上，∴-$\sqrt{2}$≤x₀≤$\sqrt{2}$，
綜上，-$\sqrt{2}$≤x₀＜-2+2$\sqrt{2}$；
∴|FM|•|FN|=$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+1}$•$\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+1}$
=$\sqrt{{{{（y}_{1}y}_{2}）}^{2}+{{（y}_{1}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}）+1}$
=$\sqrt{{（{2x}_{0}-1）}^{2}+{{4y}_{0}}^{2}-2（{2x}_{0}-1）+1}$
=$\sqrt{{{2x}_{0}}^{2}-{8x}_{0}+8}$
=$\sqrt{2}$（2-x₀），
∴|FM|•|FN|∈（4$\sqrt{2}$-4，2+2$\sqrt{2}$]；
由|FM|•|FN|＞p恒成立，
∴實(shí)數(shù)p的最大值為4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線方程的應(yīng)用問題，也考查了方程與不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．