Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)f（x）=x³，則下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)f（x）=（2-x）³
③函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸中有x=1
④當(dāng)x∈[3，5]時(shí)f（x）=（x-2）³，
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)，逐一檢驗(yàn)答案，將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化變形，綜合考慮函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、解析式，分析可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∵f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確．
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x-2∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x-2∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故③正確．
當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，x-4∈[-1，1]，f（x-4）=x³，故④不正確．
故正確的命題有 ①②③，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)解析式及函數(shù)值、函數(shù)圖象的對(duì)稱性．