Question

6．n為正整數(shù)，求證：1•（n+1）+2•n+3•（n-1）+…+（n+1）•1=$\frac{1}{6}$（n+1）（n+2）（n=3）

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)學歸納法證明的步驟，首先驗證當n=1時成立，進而假設(shè)n=k時等式成立，證明n=k+1時，等式也成立；最后作答即可．

解答 證明：設(shè)f（n）=1•（n+1）+2•n+3•（n-1）+…+（n+1）•1．
（1）當n=1時，左邊=4，右邊=4，等式成立；
（2）設(shè)當n=k時等式成立，即1•（k+1）+2•k+3•（k-1）+…+（k+2）•2+（k+1）•1=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（k+3），
則當n=k+1時，
f（k+1）=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）+（k+2）
=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（k+3）+$\frac{1}{2}$（k+2）（k+2+1）
=$\frac{1}{6}$（k+2）（k+3）（k+4），即n=k+1時等式也成立；
∴由（1）（2）可知當n∈N^*時等式都成立．

點評 本題考查數(shù)學歸納法的證明，需要牢記數(shù)學歸納法證明的步驟，特別要注意從k到k+1等式的形式的變化、區(qū)別．