Question

11．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₄-2，a₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{3}{（n+1）（{a}_{n}+2）}$（n∈N₊），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵a₂，a₄-2，a₆成等比數(shù)列．
∴$（{a}_{4}-2）^{2}={a}_{2}•{a}_{6}$，
∴（1+3d-2）²=（1+d）（1+5d），
化為d²-3d=0，又d≠0，
解得d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）b_n=$\frac{3}{（n+1）（{a}_{n}+2）}$=$\frac{3}{（n+1）（3n-2+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．