Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）若f（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）若$g（x）=\frac{f（x）+a}{x}$（a＞0），在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求實數(shù)a的值；
（3）證明：當(dāng)x＞1時，2f（x）＜x²-1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的最小值，求出滿足條件的a的值即可；
（3）令g（x）=2xlnx-x²+1，（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，f′（1）=1，
故切線方程是：y-0=x-1，
即x-y-1=0；
（2）g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤1時，x-a＞0，
g（x）在[1，e]遞增，g（x）_min=g（1）=a=$\frac{3}{2}$（舍），
②1＜a＜e時，令g′（x）＞0，解得：x＞a，令g′（x）＜0，解得：x＜a，
故g（x）在[1，a）遞減，在（a，e]遞增，
故g（x）_min=g（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\sqrt{e}$，
③a≥e時，g′（x）＜0，g（x）在[1，e]遞減，
g（x）_min=g（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\frac{e}{2}$（舍），
綜上，a=$\sqrt{e}$；
（3）證明：令g（x）=2xlnx-x²+1，（x＞1），
g′（x）=2（lnx-x+1），g″（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＜0，
故g′（x）在（1，+∞）遞減，
故g（x）＜g（1）=0，
故g（x）在（1，+∞）遞減，
故g（x）＜g（1）=0，
故當(dāng)x＞1時，2f（x）＜x²-1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，在一道中檔題．