【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù).證明：對于任意的，函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見證明

【解析】

（I）求得切點坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此求得的取值范圍.（III）先求得的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)證得在上有一個零點.再利用導(dǎo)數(shù)證得在上沒有零點，由此得證.

解：（Ⅰ）已知函數(shù)，

可得，且，

函數(shù)在處的切線方程為.

（Ⅱ）對任意恒成立，所以.

令，則

令，解得.

當(dāng)時時，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.

所以，

所以，即，所以的取值范圍為.

（Ⅲ）證明：由已知，則.且可知.

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實根.

當(dāng)時，令，則.，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.所以.所以在沒有實根.

綜上，對于任意的，函數(shù)有且只有一個零點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

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【題目】如圖，在四棱錐中：底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且，BC=1，M為棱PD上的點。

（Ⅰ）若，求證：CM∥平面PAB；

（Ⅱ）求證：平面平面PAB；

（Ⅲ）求直線BD與平面PAD所成角的大小.

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【題目】如圖，四棱錐中，，，，，，為的中點.

（1）求證：；

（2）求證：平面；

（3）求直線與平面所成的角.

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【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求與滿足的關(guān)系；

（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（ ）

A.360種B.720種C.480種D.420種

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【題目】已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進(jìn)行測試，直至找到所有次品．

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？

(2)若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？

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（2）若直線與相交于兩點，與相交于兩點，且，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處的切線經(jīng)過點（0,1），求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時，函數(shù)至多有一個極值點；

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