Question

直線y＝kx＋b與曲線交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求曲線的離心率；

（2）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；

（3）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．

 

 

Answer 1

（1）離心率．（2）當(dāng)時(shí)， S取到最大值1．

（3）或或或．

【解析】

試題分析：（1）轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，明確曲線為橢圓，，進(jìn)一步得到橢圓的離心率.

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由，解得，

將面積用b表示.

（3）由,應(yīng)用弦長公式，得到｜AB｜＝，

根據(jù)O到AB的距離得到代入上式并整理，解得k,b.

試題解析：（1）曲線的方程可化為：，

∴此曲線為橢圓，，

∴此橢圓的離心率． 4分

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

由，解得， 6分

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， S取到最大值1． 8分

（3）由得，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

｜AB｜＝ ②

又因?yàn)镺到AB的距離，所以　 ③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式檢驗(yàn)，△＞0 ，

故直線AB的方程是

或或或． 14分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，函數(shù)的最值.