Question

設(shè)f（x）=ax²+b（a＞0，b＞0），對(duì)任意x、y都有f（xy）+f（x+y）≥f（x）•f（y），求點(diǎn)P（a，b）所在區(qū)域的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：已知條件可轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有（ax²y²+b）+[a（x+y）²+b]≥（ax²+b）（ay²+b），由已知條件推導(dǎo)出所求的正實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）全體為：{（a，b）|

0＜b≤1 0＜a＜1 2a+b≤2

}，作出可行域，得點(diǎn)P（a，b）所在區(qū)域?yàn)樘菪蜲ABC，由此能求出點(diǎn)P（a，b）所在區(qū)域的面積．

解答： 解：已知條件可轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，
有（ax²y²+b）+[a（x+y）²+b]≥（ax²+b）（ay²+b），①
先尋找a，b所滿(mǎn)足的必要條件，
在①式中，令y=0，得b+（ax²+b）≥（ax²+b）•b，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有（1-b）ax²+b（2-b）≥0，
由于a＞0，故ax²能取到任意大的正值，
因此必有1-b≥0，即0＜b≤1．
在①式中再令y=-x，得（ax⁴+b）+b≥（ax²+b）²，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（a-a²）x⁴-2abx²+（2b-b²）≥0，②
將②式的左邊記為g（x），由題意，得a-a²≠0，
（否則，由a＞0知a=1，此時(shí)g（x）=-2bx²+（2b-b²），其中b＞0，故g（x）可取到負(fù)值，矛盾），
于是g（x）=（a-a²）（x²-

ab

a-a2

）²-

(ab)2

a-a2

+（2b-b²）
=（a-a²）（x²-

b

1-a

）²+

b

1-a

（2-2a-b）≥0
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，從而必有a-a²＞0，即0＜a＜1，
進(jìn)一步，考慮到此時(shí)

b

1-a

＞0，
再根據(jù)g（

b 1-a

）=

b

1-a

(2-2a-b)≥0，
得2a+b≤2，
所以，a，b滿(mǎn)足和必要條件為0＜b≤1，0＜a＜1，2a+b≤2．③
下面證明，對(duì)滿(mǎn)足③的任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）以及任意的實(shí)數(shù)x，y，
總有①成立，
即對(duì)任意x，y取非負(fù)值，
事實(shí)上，在③成立時(shí)，有a（1-b）≥0，a-a²＞0，

b

1-a

(2-2a-b)≥0，
再結(jié)合x(chóng)²+y²≥-2xy，
得h（x，y）≥（a-a²）x²y²+a（1-b）（-2xy）+2axy+（2b-b²）
=（a-a²）x²y²+2abxy+（2b-b²）
=（a-a²）（xy+

b

1-a

）²+

b

1-a

（2-2a-b）≥0．
綜上所述，所求的正實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）全體為：
{（a，b）|

0＜b≤1 0＜a＜1 2a+b≤2

}，
作出可行域，得點(diǎn)P（a，b）所在區(qū)域?yàn)樘菪蜲ABC，
由OA=1，BC=

1

2

，OC=1，
得點(diǎn)P（a，b）所在區(qū)域的面積為：
S=

1

2

(1+

1

2

)×1=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)所在區(qū)域的面積的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和線性規(guī)劃知識(shí)的合理運(yùn)用．