Question

13．三角形的周長(zhǎng)為31，三邊為a，b．c均為整數(shù)且a≤b≤c，則滿足條件的三元數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 24
• B． 30
• C． 48
• D． 60

Answer 1

分析 由三角形的三邊關(guān)系可得$\frac{31}{3}$≤c＜$\frac{31}{2}$，故c=11，12，13，14，15，分別列舉可得滿足a≤b≤c的三元數(shù)組（a，b，c）的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵三邊長(zhǎng)分別為a≤b≤c，則a+b=31-c＞c≥$\frac{31}{3}$，
∴$\frac{31}{3}$≤c＜$\frac{31}{2}$，故c=11，12，13，14，15．
分類討論如下：
①當(dāng)c=11時(shí)，b=11，a=9或b=10，a=10；
②當(dāng)c=12時(shí)，b=12，a=7或b=11，a=8或b=10，a=9；
③當(dāng)c=13時(shí)，b=13，a=5或b=12，a=6或b=11，a=7或b=10，a=8或b=9，a=9；
④當(dāng)c=14時(shí)，b=14，a=3或b=13，a=4或b=12，a=5或b=11，a=6或b=10，a=7或b=9，a=8；
⑤當(dāng)c=15時(shí)，b=15，a=1或b=14，a=2或b=13，a=3或b=12，a=4或b=11，a=5或b=10，a=6或b=9，a=7或b=8，a=8；
∴滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為2+3+5+6+8=24．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及分類討論的思想，解答的關(guān)鍵是找到三邊的取值范圍及對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解與把握，屬中檔題．