Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在與函數(shù)的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，（2）[﹣1，+∞）

【解析】

（1）先求導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)零點討論導函數(shù)符號，即得單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，分別求得導數(shù)和切線的斜率，可得﹣++﹣2＝0,利用導數(shù)研究方程有解條件，可得a的范圍．

（1）當時，，

時，；時，；

因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

（2）設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，

則＝＝，

所以＝＝，

所以＝﹣，代入＝得：

﹣++﹣2＝0（*）

設﹣++﹣2

則

不妨設＝0（＞0），

則當0＜＜時，＜0，當＞時，＞0，

所以在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增，

代入＝﹣2，

可得min＝＝2+2﹣+ln﹣2，

設＝2+2﹣+ln﹣2，，

則＝2+2++＞0對＞0恒成立，

所以在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，又＝0，

所以當0＜＜1時≤0，即當0＜≤1時≤0，

又當x＝ea+2時F（x）＝﹣+lnea+2﹣a+﹣2＝（﹣a）2≥0，

因此當0＜≤1時，函數(shù)必有零點；

即當0＜≤1時，必存在使得（*）成立；

即存在，，使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同．

又由y＝﹣2x得y′＝﹣﹣2＜0，

所以y＝﹣2x在（0，1）單調(diào)遞減，

因此＝﹣2∈[﹣1，+∞），

所以實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞）．