Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點，從而求出極值．
（2）通過求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過：當0＜a＜2，a=2，a＞2，分別通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)列表，然后求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
∴f′（x）=2x-3+

1

x

，
f′（x）＞0時，解得：x＞1，x＜

1

2

f（x）＜0時，解得：

1

2

＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）遞增，在（

1

2

，1）遞減，
∴x=

1

2

是極大值點，x=1是極小值點，
∴f（

1

2

）=-

5

4

-ln2，f（1）=-2．
（2）f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(ax-1)(2x-1)

x

，
①當0＜a＜2時，
當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

2

，

1

a

）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
②當a=2時，f′（x）=

(2x-1)2

x

，對一切x∈（0，+∞）恒成立，
當且僅當x=1時f′（x）=0，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
③當a＞2時，
綜上：當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)；
當x∈（

1

a

，

1

2

）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，

1

a

）．
當a=2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）
當a＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（

1

a

，

1

2

）．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值，考查分類討論以及計算能力．