Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，AP=AB，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面PAD；
（2）求四棱錐A-BEFP的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AE⊥平面PAD；
（2）根據(jù)棱錐的體積公式，利用割補(bǔ)法即可求四棱錐A-BEFP的體積．

解答： 證明：（1）依題意，在等腰△ABC中，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，又E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD；
∵PA⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，
∴AE⊥PA；
PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD
（2）連結(jié)OF，則OF是△PAC的中位線，
則OF⊥平面ABCD，且OF=

1

2

AP=1，
則四棱錐A-BEFP的體積V_{四棱錐A-BEFP}=V_P-ABC-V_F-AEC=

1

3

•S△ABC•PA-

1

3

S△AEC•OF
=

1

3

×

1

2

×22×

3

2

×2-

1

3

×

1

2

×

1

2

×22×

3

2

×1=

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判定，以及棱錐的體積的計(jì)算，利用割補(bǔ)法是解決本題的關(guān)鍵．