Question

6．有下列四個(gè)命題：
①若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；
②若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)；
③若定義域內(nèi)存在一實(shí)數(shù)x，使得f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
④若定義域內(nèi)存在一實(shí)數(shù)x，使得f（-x）≠f（x），則f（x）不為偶函數(shù)；
⑤既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）；
⑥偶函數(shù)的圖象若不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，以上命題中正確的為①④⑤⑥．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性的定義域性質(zhì)判斷選項(xiàng)①②③④⑤，利用函數(shù)的零點(diǎn)與奇偶性的關(guān)系判斷⑥即可．

解答 解：對(duì)于①，由函數(shù)的奇偶性的定義可知，若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；所以①正確；
對(duì)于②，若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)滿足函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，所以②不正確；
對(duì)于③，若定義域內(nèi)任意一實(shí)數(shù)x，使得f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；所以③不正確；
對(duì)于④，若定義域存在一實(shí)數(shù)x，使得f（-x）≠f（x），則f（x）不為偶函數(shù)；所以④正確；
對(duì)于⑤，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=0，滿足函數(shù)的奇偶性的定義，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）；所以⑤正確；
對(duì)于⑥，偶函數(shù)的圖象若不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，所以⑥正確；
故答案為：①④⑤⑥．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的定義域性質(zhì)，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．