Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值為（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：設正方體的棱長等于1，建立如圖空間直角坐標系，得出D、B、C₁、A₁各點的坐標，從而得出

BC1

，

A1D

，

BD

的坐標，然后求出平面的法向量的坐標，利用向量的夾角公式算出

BC1

與法向量的夾角的余弦值＞的值，即得直線BC₁與平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值．

解答： 解：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
設正方體的棱長等于1，可得：
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0），
設

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一個法向量，
則

n • A1D =0 n • BD =0

，即

x+z=0 x+y=0

，取x=1，得y=z=-1，
∴平面A₁BD的一個法向量為

n

=（1，-1，-1），
設直線BC₁與平面A₁BD所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1 • n

| BC1 || n |

=|

-2

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

，即直線BC₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

；
故選C．

點評：本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．