Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，若對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意x＞0；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在（0，2）的最小值，再將對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g_max（x）≤f（x）_min即可，由此可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）（x-3）}{4{x}^{2}}$，x＞0，
由f′（x）＞0，可得1＜x＜3，由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞3．
函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，3），減區(qū)間為（0，1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，2）的最小值為f（1）=-$\frac{1}{2}$，
若對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g（x）_max≤-$\frac{1}{2}$即可，
又g（x）=-（x-b）²+b²-4，x∈[1，2]，
當(dāng)b≥2時(shí)，g（x）_max=g（2）=4b-8≤-$\frac{1}{2}$，解得b≤$\frac{15}{8}$，不合題意，舍去；
當(dāng)b≤1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2b-5≤-$\frac{1}{2}$，解得b≤$\frac{9}{4}$．即為b≤1；
當(dāng)1＜b＜2時(shí)，g（x）_max=g（b）=b²-4≤-$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤b≤$\frac{\sqrt{14}}{2}$．即為1＜b＜2．
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g_max（x）≤f（x）_min．