Question

12．若P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1上任意一點(diǎn)，EF為圓（x-1）²+y²=4的任意一條直徑，則$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范圍是[5，21]．

Answer 1

分析 先把$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$轉(zhuǎn)化為=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²=-4+|NP|²．再結(jié)合|NP|的范圍即可求出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)?\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）
=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²
=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²
=-4+|NP|²．
又因?yàn)闄E圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的a=4，b=$\sqrt{15}$，c=1，
N（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，
∴|NP|∈[a-c，a+c]=[3，5]
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$∈[5，21]．
故答案為：[5，21]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵在于知道N為橢圓的右焦點(diǎn)并且會(huì)把所求問題轉(zhuǎn)化．