Question

已知等差數(shù)列{a}中，公差d>0，其前n項(xiàng)和為S，且滿足a·a＝45，a＋a＝14。

（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S；

（Ⅱ）令b＝（n∈N＊），若數(shù)列{c}滿足c＝－，＝bn（n∈N＊）。求數(shù)列{c}的通項(xiàng)公式c；

（Ⅲ）求f（n）＝－（n∈N＊）的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a}的公差為d>0，且數(shù)列{a}滿足a·a＝45，a＋a＝14. 因?yàn)閿?shù)列{a}是等差數(shù)列，所以a＋a＝ a＋a＝14.

因?yàn)閐>0，所以解方程組得a＝5，a＝9.      2分

所以a＝3，d＝2.   所以a＝2n＋1.

因?yàn)镾＝na＋n（n－1）d，所以S＝n2＋2n

數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a＝2n＋1，前n項(xiàng)和公式S＝n2＋2n.  5分

（Ⅱ）因?yàn)閎＝（n∈N＊）,a＝2n＋1，所以b＝.

因?yàn)閿?shù)列{c}滿足c＝－，cn＋1－cn＝，

所以cn＋1－cn ＝（－）. cn－ cn＋1 ＝（－）

…      c2－c1＝（1－）

以上各式相加得：cn＋1－c1＝（1－）＝.

因?yàn)閏1＝，所以

所以   8分

（Ⅲ）因?yàn)閒（n）＝－，b＝，c＝－，

所以f（n）＝＋.

因?yàn)閒（n）＝＋＝＋－，

所以＋－≥2－

f（n）≥－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝2時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)n＝2時(shí)，f（n）最小值為.