Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若對于任意的實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)對于任意的實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），分別令x=y=0，x=-y，可證得結(jié)論；
（Ⅱ）f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，可證得結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立．進(jìn)而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
由題意知：f（x+y）=x+y，令x=y=0，得f（0）=0
設(shè)x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）
所以f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)．-----------------------（4分）
（Ⅱ）f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：
由題意知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．--------------（8分）
（Ⅲ）由（2）知f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，
所以要使f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立．
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，則$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2m+{m^2}＞0\\-2m+{m^2}＞0\end{array}\right.$，解得m＞2或m＜-2．
故實數(shù)m的取值范圍是m＞2或m＜-2．--------------（12分）

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．