Question

6．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上有一點M（-4，$\frac{9}{5}$）在拋物線y²=2px（p＞0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點N在拋物線上，過N作準線l的垂線，垂足為Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c=-4，得到p=8，再由點M（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程和拋物線方程可求；
（2）由題意畫出圖形，由拋物線定義把|MN|+|NQ|的最小值轉(zhuǎn)化為|MF|求解．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點M在拋物線y²=2px（p＞0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點．
∴c=-4，p=8…①
∵M（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{81}{25^{2}}=1$…②
又∵a²=b²+c²…③
∴由①②③解得：a=5、b=3，
∴橢圓為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
由p=8得拋物線為y²=16x．
（2）設橢圓焦點為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|，
∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|=$\sqrt{（-4-4）^{2}+（\frac{9}{5}-0）^{2}}=\frac{41}{5}$，即為所求的最小值．

點評 本題考查橢圓與拋物線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．