Question

6．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上有一點(diǎn)M（-4，$\frac{9}{5}$）在拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l上，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c=-4，得到p=8，再由點(diǎn)M（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程和拋物線(xiàn)方程可求；
（2）由題意畫(huà)出圖形，由拋物線(xiàn)定義把|MN|+|NQ|的最小值轉(zhuǎn)化為|MF|求解．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點(diǎn)M在拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l上，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．
∴c=-4，p=8…①
∵M(jìn)（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{81}{25^{2}}=1$…②
又∵a²=b²+c²…③
∴由①②③解得：a=5、b=3，
∴橢圓為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
由p=8得拋物線(xiàn)為y²=16x．
（2）設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|，
∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|=$\sqrt{（-4-4）^{2}+（\frac{9}{5}-0）^{2}}=\frac{41}{5}$，即為所求的最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．