Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，若四棱錐P-ABCD的體積為

5

2

時，求直線PD與底面ABCD所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出PA⊥CE，CE⊥AD，由此能證明CE⊥平面PAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE⊥AD，由已知條件推導出四邊形ABCE為矩形，由此能求出直線PD與底面ABCD所成的角．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，…（2分）
因為AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，又PA∩AD=A，…（4分）
所以CE⊥平面PAD  …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，
DE=CD，cos45°=1，CE=CD，sin45°=1．
又因為AB=CE=1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形，
所以S_ABCD=S_ABCE+S_△BCD
=AB•AE+

1

2

CE•DE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

，…（8分）
又PA⊥平面ABCD，PA=h，
所以四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×

5

2

×h=

5

2

，解得h=3，…（10分）
PA⊥底面ABCD，所以直線PD與底面ABCD所成的角為∠ADP，
PA=AD=3，所以∠ADP=

π

4

．
所以，直線PD與底面ABCD所成的角為

π

4

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．