Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+

a

2

，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a）的表達(dá)式，并求出g（a）的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=(x-

a

2

)2+

a

2

-

a2

4

，x∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論求得f（x）的最小值g（a），再畫出函數(shù)g（a）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得g（a）的最大值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²-ax+

a

2

=(x-

a

2

)2+

a

2

-

a2

4

，x∈[0，1]，
∴當(dāng)

a

2

∈[0，1]時，f（x）的最小值g（a）=f（

a

2

）=

a

2

-

a2

4

；
當(dāng)

a

2

＜0時，函數(shù)f（x）在[0，1]上增函數(shù)，f（x）的最小值g（a）=f（0）=

a

2

；
當(dāng)

a

2

＞1時，函數(shù)f（x）在[0，1]上減函數(shù)，f（x）的最小值g（a）=f（1）=1-

a

2

．
綜上可得，g（a）=

a 2 ，a＜0 a 2 - a2 4 ，a∈[0，2] 1- a 2 ，a＞2

，畫出函數(shù)g（a）的圖象，如圖所示：
顯然，函數(shù)g（a）在x=1處取得最大值為g（1）=

1

4

．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．